Distribuciones Estadisticas " Weibull, Gamma, Triangular, Geometrica"

 Wibull

 

La distribución modela la distribución continua de fallos, cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:

·         Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.

·         Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.

·         Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.

 

Su función de distribución de probabilidad es:

para x ≥ 0, siendo nula cuando x < 0.

 

 

Aplicaciones 

·         Análisis de la supervivencia

·         Reliability engineering

·         En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes

·         Teoría de valores extremos

·         Meteorología

·         Para modelar la distribución de la velocidad del viento

·         En telecomunicaciones

·         En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida

·         En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas

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Gamma

 

Es una generalización de la Erlang y tiene parámetros no enteros. El parámetro ȕ es llamado parámetro de forma y ș es llamado parámetro de escala.

 

 

 

 

Aplicaciones

• La distribución Gamma puede ser usada para representar el tiempo requerido para completar una
• actividad o grupo de actividades
• La distribución Gamma pude ser utilizada para generar valores
• que representan el tiempo total requerido para completar n desempeños independientes de la
• actividad 
• Se usa en modelos de colas para modelar tiempos de servicio y tiempos de reparación.

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Triangular

 

En probabilidad y estadística, la distribución triangular es la distribución de probabilidad continua que tiene un valor mínimo a, un valor máximo b y una moda c, de modo que la Función de densidad de probabilidad es cero para los extremos (a y b), y afín entre cada extremo y la moda, por lo que su gráfico es un triángulo.

 

 

Aplicaciones

La Distribución Triangular es habitualmente empleada como una descripción subjetiva de una población para la que sólo se cuenta con una cantidad limitada de datos muestrales y, especialmente en casos en que la relación entre variables es conocida pero los datos son escasos (posiblemente porque es alto el costo de recolectarlos). Está basada en un conocimiento del mínimo y el máximo y un "pálpito inspirado"  como el del valor modal. Por estos motivos, la Distribución Triangular ha sido denominada como la de "falta de precisión" o de información.

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Si la respuesta es positiva entonces F(x):

 

 

Si la respuesta es negativa entonces F(x):

 

 

  Geometrica

 

 

La distribución Geométrica también está relacionada con una secuencia de ensayos de Bernoulli, excepto que el número de ensayos no es fijo. En consecuencia, la distribución geométrica hereda las características de la distribución binomial, a excepción del concepto del cual se quiere calcular la probabilidad. En este caso la variable aleatoria de interés, denotada mediante X, se define como el número de ensayos requeridos para lograr el primer éxito. Es obvio que para obtener el primer éxito se debe realizar el experimento cuando menos una vez, por lo que los valores que puede tomar la variable aleatoria X son 1, 2, 3, ... , n, esto es, no puede tomar el valor cero. En este caso se cumple que (X = x)si y sólo si los primeros (x – 1) ensayos son fracasos (q) y el x-ésimoensayo es éxito (p), por lo que: P(X=x)=

 

·         La variable aleatoria al igual que en la distribución binomial, sólo puede tomar dos valores (éxito ofracaso).

·         Las pruebas son también idénticas e independientes entre sí.

·         La probabilidad de éxito es p y se mantiene constante de prueba en prueba

 

 

Aplicaciones

 

La distribucion geometrica sirve para cuando se necesita estudiar el numero del evento en el que se produce el primer evento con exito. 

 
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Para: U(0,1)

 



Distribuciones Estadisticas " Bernoulli, Poisson, Lognormal"

Bernoulli

 

 

 

Aplicacion

 

Esta distribucion puede ser utilizada cuando:

• Se necesita conocer si un tratamiento medico es efectivo o no
• Las metas de produccion se pueden lograr en un mes o no

 

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Esta dado por:

 

 

Poisson

 

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

 

Aplicacion

• Procesos de conteo en los cuales el numero de eventos depende unicamente de la longitud del intervalo de tiempo

 



 

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Para generar variables aleatorias que sigan una distribucion Poisson, no es posible usa el metodo de la transformacion inversa en su forma original que F(x) no tiene una forma explicita. Se puede emplear una version modificada de dicho metodo o en forma numerica, como si fuera una distribucion empirica. El metodo mas comun para generar una variable Poisson es usando la relacion que existe entre las distribuciones de Poisson y la Exponencial: Esa relacion establece que  " si elnro de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo t es un proceso de Poisson con parametro (λ) entonces el tiempo de ocurrencia  de los eventos sucesivos sigue una distribucion exponencia con media (1/λ).

 

 

Lognormal

Es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si X es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal. La base de una función logarítmica no es importante, ya que log_a X está distribuida normalmente si y sólo si log_b X está distribuida normalmente, sólo se diferencian en un factor constante.

      Función de distribución:   G(y) = P(Y≤y) = P(e^X ≤y) = P(X≤log y) = F(log y)

 

 

 

Aplicacion

 

• Patrones de abundancia de especies.
• Distribución log-normal de las concentraciones ambientales.
• Modelo log-normal del precio de las acciones.
• Análisis de la comunidad de una laguna costera en la costa sur occidental de México.
• Cuantificación de la vitamina B2.
• Distribución del peso molecular de los polímeros.
• Predicción de sismos una ojeada al futuro.
•  Factores que afectan las tasas de captura de langostino amarillo en la zona norte de chile.
•  Comportamiento de las precipitaciones en el sector del lago Titicaca (Bolivia) durante el fenómeno “El Niño”
• Producción de nanopartículas de Cobre.  

 

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Distribuciones Estadisticas " Uniforme, Exponencial, Binomial"

1.  Uniforme

La distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple. Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma probabilidad.

 

 

Aplicaciones:

• Muestreo de una distribución uniforme

Existen muchos usos en que es útil realizar experimentos de simulación. Muchos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar números pseudo-aleatorios que están distribuidos de acuerdo a una distribución uniforme estándar.

• Muestreo de una distribución arbitraria

La distribución uniforme resulta útil para muestrear distribuciones arbitrarias. Un método general es el método de muestreo de transformación inversa, que utiliza la distribución de probabilidad(CDF) de la variable aleatoria objetivo. Este método es muy útil en trabajos teóricos. Dado que las simulaciones que utilizan este método requieren invertir la CDF de la variable objetivo, se han diseñado métodos alternativos para aquellos casos donde no se conoce el CDF en una forma cerrada. Otro método similar es el rejection sampling.

 

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       Debe cumplirse:

• La distribucion de los numeros aleatorios debe ser uniforme en todo el intervalo (0,1)
• Los numeros deben ser independientes en toda la serie generada
• El ciclo del generador debe ser bastante grande
• La serie se debe repetir
• El generador debe ser rapido y almancenar poco espacio en la memoria

 

 

 

2. Exponencial

 

 La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que: Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado hasta que ello ocurra en un instante no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada

• Su esperanza es α
• Su varianza es α².
• Una propiedad importante es la denominada carencia de memoria
• Cuando el número de sucesos por unidad de tiempo sigue una distribución de  Poisson de parámetro λ (proceso de Poisson), el tiempo entre dos sucesos consecutivos sigue una distribución Exponencial de parámetro α = 1/λ 

Aplicaciones:

• Biometrica
• Las aplicaciones mas importantes son donde se aplica el proceso Poisson

 

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 3. Binomial

Se basa en la  probabilidad de una variable aleatoria X resultado de contar el número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p 

Las características de esta distribución son:

a)      En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c)      Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d)      El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

 

Aplicaciones:

Algunas situaciones en las cuales se utiliza la distribución Binomial se plantean a continuación:

•  Control de Plagas
• Produccion
• Control de enfermedades, entre otros.

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